העיקרון היסודי של נוסחת בלק אנד שולז
רקע
לצורך הדיון היום אני אתמקד באופציית קול (call), כלומר אופציה שמקנה לי את הזכות לרגוש מניה במחיר מוסכם מראש במועד מוסכם מראש. הנימוקים לאופציית פוט (put -הזכות למכור) הם דומים מאוד.
למעשה, היום נוכיח שניתן לתמחר אופציה, כלומר יש מחיר מדויק שהאופציה שווה. זאת בניגוד למניה שהשווי שלה הוא סובייקטיבי הרבה יותר. הסיבה לכך שיש מחיר ודאי היא שאם האופציה לא מתומחרת במחיר הנכון שלה אז צד אחד בטוח יכול להרוויח רווח בלא סיכון (ארביטרז).
אני לא מתכוון להראות את השיקולים שמביאים לתמחור המדויק. זאת משתי סיבות, הראשונה שזה כרוך במתמטיקה גבוהה שלא נגישה לקורא הממוצע. שנית, השיקולים הללו מסתמכים על הנחות שדי מקבעות את המודל. במובן זה, בלק אנד שולז הוא מודל ישן וזכה במהלך השנים לשדרוגים רבים,.
למעשה, הרעיון שעומד בבסיס תמחור האופציה הוא כזה: כולם רוצים להרוויח בלי לקחת סיכון, ואף אחד לא רוצה להפסיד סתם. לכן לא יתכן מצב בו מחיר האופציה ביחס למחיר נכס הבסיס מהוה הזדמנות לרווח חסר סיכון.
מושגים
לפני שנתחיל, רק כדי לוודא שכולם מבינים אני חוזר על כמה מושגים שאני אשתמש בהם:
לונג (long): להיות בלונג על נכס פירושו לקנות את הנכס בכוונה למכור אותו מאוחר יותר ברווח.
שורט (short): להיות בשורט על נכס פירושו להלוות את הנכס ממישהו אחר, מיד למכור את הנכס בשוק בכוונה לקנות אותו בחזרה מאוחר יותר במחיר זול יותר. מכיוון שההתחייבות היא להחזיר את הנכס ולא כסף, ההפרש נשאר רווח. לדוגמא, אני מלווה ממך מניה אחת של טבע ומיד מוכר אותה ב 100 ₪. למחרת אני קונה אותה בחזרה ב 90 ₪. אני חייב לך מניה של טבע, ומחזיר לך אותה, אך ההפרש של 10 ₪ נשאר בכיסי.
ריבית חסרת סיכון: הריבית שאני אקבל אם אשקיע בנכס חסר סיכון, לדוגמא אג"ח ממשלתי. המושג הזה חשוב שכן בבואנו לשקול השקעה אנו צריכים לקחת בחשבון שאנו לא מקבלים את הריבית חסרת הסיכון ולכן נרצה פיצוי על כך.
אופציה (Call). אופציית קול מקנה את הזכות לקנות נכס במחיר מוסכם מראש במועד מוסכם מראש. מאידך אופציית Put מקנה את הזכות למכור, אך בהמשך כאן אנו מניחים תמיד שאופציה היא אופציית Call
התמחור
שוויה של אופציה ביום המימוש ידוע. אם מחיר נכס הבסיס מעל מחיר המימוש, אז שווי האופציה הוא ההפרש ואם מחיר נכס הבסיס מתחת למחיר המימוש אז שווי האופציה הוא אפס.
נמחיש ע"י דוגמא: נניח כי היום יום הפקיעה של אופציה לרכישת מניה אחת של טבע. מחיר המימוש של האופציה הוא 100 ₪. אם השער של טבע עומד על 110 ₪ אז שווי האופציה הוא 110-100=10 ₪. זאת משום שאני יכול לממש את האופציה, כלומר לקנות טבע ב100 ₪ ומיד למכור את המניות בבורסה תמורת 110 ₪.
לכן למכור את האופציה במחיר נמוך יותר שקול לחלוקת כסף חינם, ומאידך רכישת האופציה במחיר גבוהה יותר שקולה להפסד. כלומר אם אני אשלם 20 ₪ תמורת האופציה, אממש אותה ומיד אמכור את המניות אני אהיה בהפסד של 10 ₪..אך השיקולים הנ"ל נכונים רק ביום המימוש, בכל יום לפני כן, שווי האופציה מושפע גם מהאופן שבו המחיר של נכס הבסיס משתנה.
דלתה: שינוי בשווי האופציה ביחס לשינוי במחיר נכס הבסיס
אם כך, בואו נסתכל על השינוי של שווי האופציה ביחס לשינוי במחיר נכס הבסיס (בז'רגון המקצועי זה נקרא דלתה). הדלתה הזה אולי נשמע כמו המצאה פיקטיבית חסרת שחר, אך תחת הנחות יחסית קלות ניתן לא רק לדבר על מושג כזה אלא גם להציג משוואה שמתארת את המושג הזה. מכיוון שאנו מכוונים לקהל אני פוסח על הנימוקים ומבקש מכם להאמין לי, מי שלא מוזמן לבדוק באינטרנט. מחיר נכס הבסיס הוא תהליך תלוי זמן(כלומר בכל נקודה בזמן מחיר נכס הבסיס יכול להיות שונה) ומחיר האופציה הוא תהליך תלוי זמן ותלוי מחיר נכס הבסיס. בלק ושולז אמרו, "נניח כי אני מחזיק באופציה אחת ובכל רגע נתון אני מחזיק –דלתה מניות. לדוגמא אם דלתה (השינוי בשווי האופציה ביחס לשווי נכס הבסיס) שווה 5 ברגע מסוים אז באותו רגע אני אחזיק -5 מניות (כלומר אמכור בשורט).
במצב כזה, אם מחיר המניה עולה אז אני מפסיד על המניה (כי אני בשורט על המניה) אך אני מרוויח בדיוק את אותו סכום מהתמורה בשווי באופציה (זה נקרא גידור-דלתה delta hedging). כלומר אין לתמורות במחיר נכס הבסיס השפעות על השווי של האחזקות הכוללות שלי (לונג אופציה ושורט מניות).
לכן, נימקו בלק אנד שולז, התשואה מהפוזיציה שלי חייבת להיות שווה לריבית חסרת הסיכון. נניח שלא.אז אם התשואה של הפוזיציה גבוהה מהריבית חסרת הסיכון אני אלווה כספים בריבית הזאת ואפתח את הפוזיציה הנ"ל וארוויח את ההפרש ללא סיכון. מאידך, אם התשואה על הפוזיציה הזאת היא נמוכה מהריבית חסרת הסיכון אז אני אפתח שורט על הפוזיציה הנ"ל (כלומר לונג מניות ושורט אופציה) ובתמורה ארוויח את ההפרש בין תשואת הפוזיציה לתשואת הריבית חסרת הסיכון, שוב ארביטרז' וזה לא יתכן.
הערה לחנונים
וזהו. זה הרעיון שמאחורי בלק אנד שולז. העקרון המנחה. האמת שהרעיון הנ"ל נותן לנו משואה ולא נוסחא. ההבדל הוא שבנוסחא אנו מציבים את ערכי המשתנים ומקבלים תוצאה, ואילו משואה אנו צריכים לפתור. בלק אנד שולז לא רק הגדירו את המשוואה, אלא גם זיהו שהיא שייכת למשפחה של משואות שנקראות משוואות חום, ושמתארות התפשטות של חום בתוך גוף ותהליכים דומים. למרבה המזל יודעים לפתור משואות כאלו (לא דבר מובן מאיליו) וכך אנו יודעים לתמחר אופציות.
